Formulaire

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~ ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).
Soit \(\text{A}\left(x_\text{A};y_\text{A}\right)\) et \(\text{B}\left(x_\text{B};y_\text{B}\right)\) deux points du plan. Soit \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan. Soit \(\text{C}\) et \(\text{D}\) deux points du plan.

•  \(\overrightarrow{\text{AB}}\)   \(\begin{pmatrix}x_\text{B}-x_\text{A}\\y_\text{B}-y_\text{A} \end{pmatrix}\).
  
•  \(\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}\).
  
• Pour tout réel \(k\), le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix}k\times x \\k\times y \end{pmatrix}\).
  
• Les vecteurs\(\overrightarrow{u }\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}\).
  
• Déterminant de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) 
  \(\det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=x\times y'-y\times x'\).
  
• Les vecteurs  \(\overrightarrow{u }\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si on a \(\det\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=0\)
  Ceci signifie que les coordonnées de   \(\overrightarrow{u }\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux à deux proportionnelles.
  
• Les points \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires.
  
• Les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont colinéaires.